Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (85)biofyzika (18)chemie (23)elektrické pole (71)elektrický proud (75)gravitační pole (81)hydromechanika (146)jaderná fyzika (44)kmitání (57)kvantová fyzika (31)magnetické pole (43)matematika (89)mechanika hmotného bodu (298)mechanika plynů (87)mechanika tuhého tělesa (221)molekulová fyzika (71)geometrická optika (78)vlnová optika (65)ostatní (167)relativistická fyzika (37)statistická fyzika (21)termodynamika (154)vlnění (51)

termodynamika

(8 bodů)4. Série 30. Ročníku - 4. plynový stroj

figure

Mějme tepelný stroj naplněný ideálním plynem složeným z dvouatomových molekul. Tento tepelný stroj vykonává kruhový děj $\mathrm{ABCDEFA}$ (viz obrázek), tedy skládá se z šesti dějů

  • $\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{B}$ - izobarické zahřátí ze stavu $4p_{0}$ a $V_{0}$ (teplotu v A označme jako $4T_{0}$) do stavu s objemem $3V_{0}$,
  • $\mathrm{B} \longrightarrow \mathrm{C}$ - izotermická expanze na objem $4V_{0}$,
  • $\mathrm{C} \longrightarrow \mathrm{D}$ - izochorické ochlazení na tlak $p_{0}$,
  • $\mathrm{D} \longrightarrow \mathrm{E}$ - izobarické ochlazení na objem $2V_{0}$,
  • $\mathrm{E} \longrightarrow \mathrm{F}$ - izotermická komprese na objem $V_{0}$,
  • $\mathrm{F} \longrightarrow \mathrm{A}$ - izochorické zahřátí na tlak $4p_{0}$. Určete zbývající stavové veličiny ve stavech $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$ a $\mathrm{F}$, maximální a minimální teplotu ideálního plynu v průběhu děje (v násobcích $T_{0}$), teplo přijaté či odevzdané plynem v jednotlivých dějích a účinnost tepelného stroje. Srovnejte tuto účinnost s účinností Carnotova stroje pracujícího se stejnými maximálními a minimálními teplotami. Pro jednoduchost uvažujte, že se nemění látkové množství plynu ve stroji a nedochází v něm k chemickým přeměnám.

Bonus: To samé proveďte pro jednodušší cyklický „čtvercový“ děj, tedy $\mathrm{ABCDA}$, kde plyn začíná ve stavu $p_{0}$, $V_{0}$ a $T_{0}$ a izochoricky se ohřeje na $4p_{0}$, izobaricky se zahřeje a rozepne na $4V_{0}$, izochoricky ochladí na $p_{0}$ a izobaricky se ochladí na $V_{0}$. Srovnejte účinnosti těchto dvou tepelných strojů a diskutujte, který je lepší.

Karlovi bylo střídavě teplo a zima.

(3 body)2. Série 30. Ročníku - 2. hypervysokoteplotní supravodivost

Velké části látek, obvykle kovům, roste s vyšší teplotou odpor. Jsou ovšem látky, jako například grafit či polovodiče, kterým odpor s rostoucí teplotou klesá. Také jste již pravděpodobně slyšeli o supravodivosti, což je jev, který obvykle nastává za velmi nízkých teplot a jedná se o stav, ve kterém látka nevykazuje žádný elektrický odpor a dokonale vede elektrický proud. V současné době jsou nejvyšší teploty, ze kterých byla supravodivost pozorována, hluboko pod pokojovou teplotou. Co kdybychom ale uvažovali, že se odpor mění dle vzorečku $R=R_{0}(1+αΔt)$, kde $R_{0}$ je odpor vodiče pro $20\; \mathrm{°C}$, $α$ je teplotní součinitel elektrického odporu a $Δt$ teplotní rozdíl vůči původní teplotě $20\; \mathrm{°C}$? Tak při hodnotách součinitelů pro grafit $α_\mathrm{C}=-0,\! 5 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{K^{-1}}$ a křemík $α_\mathrm{Si}=-75 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{K^{-1}}$ dostáváme nulový odpor pro vysoké teploty. Pro jaké? A jak to, že to ve skutečnosti nefunguje a jak uhlík, tak křemík nejsou za vysokých teplot supravodivé?

Karel se inspiroval nekonstantními konstantami.

(9 bodů)2. Série 30. Ročníku - P. efektivní (ná)stroj

Palné zbraně jsou vlastně takovými tepelnými stroji. Spočítejte jaká je účinnost nějaké pušky nebo pistole. (Jde o využití energie střeliva pro pohyb kulky.)

Michal původy svých nápadů raději nesděluje.

(3 body)1. Série 30. Ročníku - 1. s rumem či bez?

Do kuchyňského kastrolu, který prakticky nevede teplo, vložíme tři látky: vodu, ocel a rum. Voda má hmotnost $m_\mathrm{v}=0,\! 5\; \mathrm{kg}$, teplotu $t_\mathrm{v} = 90\; \mathrm{°F}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{v} = 1\; \mathrm{kcal \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$. Ocelový váleček má hmotnost $m_\mathrm{o} = 200\; \mathrm{g}$, teplotu $t_\mathrm{o} = 60\; \mathrm{°C}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{o} = 0,\! 260\; \mathrm{kJ \cdot kg^{-1} \cdot °F^{-1}}$. Rum má hmotnost $m_\mathrm{r}=100\,000\; \mathrm{mg}$, teplotu $t_\mathrm{r}=270\; \mathrm{K}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{r} = 3,\! 5\; \mathrm{J \cdot g^{-1} \cdot °C^{-1}}$. Jakou teplotu (ve stupních Celsia) bude mít soustava po ustálení tepelné rovnováhy?

Lukáš Mirkovi sděloval svoje zkušenosti s alkoholem.

(4 body)6. Série 29. Ročníku - 4. fire in the hole

Pro ohřev plasmatu ve fúzních zařízeních se používají svazky neutrálních částic. V takovém zařízení se nejprve urychlí ionty deuteria na vysokou energii a následně se přenosem náboje neutralizují, přičemž si zachovávají téměř původní rychlost. Na tokamaku COMPASS mají částice na výstupu ze svazku energii $40\; \mathrm{keV}$ a proud ve svazku těsně před neutralizací je $12\; \mathrm{A}$. Jaká síla působí na generátor svazku? Jaký je jeho výkon?

Aleš koukal na vypálenou díru ve ventilu.

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - S. závěrečná

 

  • Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

  • Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

  • Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

  • Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Janči se pokusil vymyslet jednodušší úlohu než posledně.

(5 bodů)5. Série 29. Ročníku - P. metrová

Jak všichni víme, v jeskyních střední Evropy je docela zima, okolo $4\; \dg\mathrm{C}$. Proč je v metru docela teplo celý rok? Uvolňuje se více tepla z přítomných lidí, nebo spíše z technického zázemí?

Napadla Lukáše při čekání na metro.

(6 bodů)5. Série 29. Ročníku - S. přirozeně proměnná

 

  • Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U,V,N) = \frac{s}{2}n R \ln{\left( \frac{U V^{\kappa -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right)} nR s_0$$ a vztah pro změnu entropie $$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} + U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$ a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.
Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako $1/T$ před $\mathrm{d}U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah $\ln{(a/b)}=\ln{a}-\ln{b}$ a že $n=N/N_{A}$.
Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{\mathrm{r}}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah $$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu $\textrm{d}Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Janči se snažil představit si chemický potenciál.

(2 body)4. Série 29. Ročníku - 1. kofolová

Mějme kofolu s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{k}}=1360\; \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$ a teplotou $t_{\mathrm{k}}=24\;\dg\mathrm{C}$ a kofolu bez cukru s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{bez}}=14,\! 4\; \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$ a teplotou $t_{\mathrm{bez}}=4\;\mathrm{°C}$. Pokud předpokládáme, že v jiných vlastnostech se kofoly od vody neliší, při jaké teplotě můžeme pít směs těchto kapalin tak, aby byla celková získaná energie nulová?

(6 bodů)4. Série 29. Ročníku - S. pracovní

 

  • Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

  • Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

  • Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
  • V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Pořadatelé a partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner

Hlavní partner

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz