Vyhledávání úloh podle oboru

Do kuchyňského kastrolu, který prakticky nevede teplo, vložíme tři látky: vodu, ocel a rum. Voda má hmotnost $m_\mathrm{v}=0,\! 5\; \mathrm{kg}$, teplotu $t_\mathrm{v} = 90\; \mathrm{°F}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{v} = 1\; \mathrm{kcal \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$. Ocelový váleček má hmotnost $m_\mathrm{o} = 200\; \mathrm{g}$, teplotu $t_\mathrm{o} = 60\; \mathrm{°C}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{o} = 0,\! 260\; \mathrm{kJ \cdot kg^{-1} \cdot °F^{-1}}$. Rum má hmotnost $m_\mathrm{r}=100\,000\; \mathrm{mg}$, teplotu $t_\mathrm{r}=270\; \mathrm{K}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_\mathrm{r} = 3,\! 5\; \mathrm{J \cdot g^{-1} \cdot °C^{-1}}$. Jakou teplotu (ve stupních Celsia) bude mít soustava po ustálení tepelné rovnováhy?

Pro ohřev plasmatu ve fúzních zařízeních se používají svazky neutrálních částic. V takovém zařízení se nejprve urychlí ionty deuteria na vysokou energii a následně se přenosem náboje neutralizují, přičemž si zachovávají téměř původní rychlost. Na tokamaku COMPASS mají částice na výstupu ze svazku energii $40\; \mathrm{keV}$ a proud ve svazku těsně před neutralizací je $12\; \mathrm{A}$. Jaká síla působí na generátor svazku? Jaký je jeho výkon?

• Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

• Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

• Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.
  

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

• Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Jak všichni víme, v jeskyních střední Evropy je docela zima, okolo $4\; \dg\mathrm{C}$. Proč je v metru docela teplo celý rok? Uvolňuje se více tepla z přítomných lidí, nebo spíše z technického zázemí?

• Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U,V,N) = \frac{s}{2}n R \ln{\left( \frac{U V^{\kappa -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right)} nR s_0$$ a vztah pro změnu entropie $$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} + U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$ a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.
Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako $1/T$ před $\mathrm{d}U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah $\ln{(a/b)}=\ln{a}-\ln{b}$ a že $n=N/N_{A}$.
Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

• Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
• Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{\mathrm{r}}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?
  

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah $$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

• Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
• Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu $\textrm{d}Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Mějme kofolu s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{k}}=1360\; \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$ a teplotou $t_{\mathrm{k}}=24\;\dg\mathrm{C}$ a kofolu bez cukru s energetickou hodnotou $Q_{\mathrm{bez}}=14,\! 4\; \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{kg}^{-1}$ a teplotou $t_{\mathrm{bez}}=4\;\mathrm{°C}$. Pokud předpokládáme, že v jiných vlastnostech se kofoly od vody neliší, při jaké teplotě můžeme pít směs těchto kapalin tak, aby byla celková získaná energie nulová?

• Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

• Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

• Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
• V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

V akváriu ve tvaru koule s poloměrem $r=10\;\mathrm{cm}$ plně naplněném vodou plavou v opačných směrech dvě stejné rybičky. Rybička má průřez $S=5\;\mathrm{cm}$, Newtonův odporový koeficient $C=0,\! 2$ a plave rychlostí $v=5\;\mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}$ vůči vodě. Jak dlouho musí rybičky v akváriu plavat, aby ohřály vodu o $1$ stupeň Celsia? Tepelné ztráty a biologické procesy v rybičkách zanedbejte.

• Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
• Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
• V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
• Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
• Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

• Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
• Vezměte vztah $T=pV / (nR) $ s $n=1\;\textrm{mol}$, $p=100\;\textrm{kPa}$ a $V=22\;\textrm{l}$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o $10\;\%$, $1\;\%$ a $0,\! 1\; \%$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d}T=T_{,p}\mathrm{d}p + T_{,V} \mathrm{d}V$. Jak se tyto výsledky liší?
• d gymnastika:
  • Ukažte, že $\mathrm{d} \left[ C f(x) \right] = C \mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.
  • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$
  • Ukažte, že $\mathrm{d} \left( 1/x \right)= - dx/x^2$ z definice, tedy $\mathrm{d} \left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x+ \mathrm{d} x} - \frac{1}{x}$. Může se vám hodit: $(x + \mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$.
  • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{\mathrm{d} \vartheta} = 1 $. Také máte součtový vzorec $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, dokažte $\mathrm{d}\left( \sin{\vartheta} \right)=\cos{\vartheta} \mathrm{d}\vartheta$
  • Bonus: Podobně ukažte $ \mathrm{d} \left( \ln{x} \right) = \mathrm{d}x/x $ s pomocí $\ln (1 + \mathrm{d}x) = \mathrm{d}x$
• Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.