Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (84)biofyzika (18)chemie (22)elektrické pole (69)elektrický proud (74)gravitační pole (79)hydromechanika (144)jaderná fyzika (43)kmitání (55)kvantová fyzika (31)magnetické pole (41)matematika (89)mechanika hmotného bodu (292)mechanika plynů (87)mechanika tuhého tělesa (220)molekulová fyzika (71)geometrická optika (77)vlnová optika (65)ostatní (164)relativistická fyzika (37)statistická fyzika (21)termodynamika (150)vlnění (51)

ostatní

(3 body)4. Série 29. Ročníku - 3. šetřeme lesy

Máme roli toaletního papíru o poloměru $R=8\;\mathrm{cm}$ s dutou částí o poloměru $r=2\;\mathrm{cm}$. Každá vrstva namotaného papíru má tloušťku $d=200\; \mathrm{μm}$ a vrstvy na sebe dokonale přiléhají. O kolik útržků více v takovéto roli máme, pokud má jeden útržek délku $l_{1}=9\;\mathrm{cm}$, než když má jeden útržek délku $l_{2}=13\;\mathrm{cm}?$ Jako součást řešení vyžadujeme odhad chyby použité aproximace.

Bonus: Vypočtěte přesnou délku spirály, kterou papír vytváří.

Kiki je sice potvora, ale tohle by přece jen do Náboje nedala.

(8 bodů)4. Série 29. Ročníku - E. trhni si!

Změřte mez pevnosti v tahu kancelářského papíru. Ideálně použijte co nejméně potištěnou část brožurky ve které vám přišlo zadání (pro tisk je využíván papír $80\; \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2}$).

Karel viděl příspěvek Vojty Žáka o měření s papírem na Veletrhu nápadů učitelů fyziky 20.

(5 bodů)4. Série 29. Ročníku - P. dietní věž

Jak vysoká věž by se dala postavit z hliníkových plechovek od dietního nápoje kolového typu?

(2 body)6. Série 28. Ročníku - 2. dýchej zhluboka

Mág Šedomil oslavil sté narozeniny již před drahnou dobou a začíná se pomalu obávat, že ho Smrť poctí svou dlouho odkládanou návštěvou. Rozhodne se proto, že se nechá zatlouct do kouzelné truhly, kam se k němu Smrť nedostane. Bohužel zapomněl řemeslníkům říci, aby přidali dýchací otvory. Vzduch v truhle zaujímá objem $V_{0}=400\,\jd{l}$, objemový zlomek kyslíku je $φ_{0}=0,21$. Při každém nádechu a výdechu se zužitkuje pouze $k=20\,\jd{\%}$ objemových kyslíku v dechovém objemu $V_{d}=0,5\,\jd{l}$. Dechová frekvence mága po uzavření truhly postupně roste podle vztahu

$$\\f(t)=f_0 \cdot \frac{\varphi_0}{\varphi (t)}\,,$$

kde $f_{0}=15\,\jd{dech\cdot min^{-1}}$ je počáteční dechová frekvence a $φ(t)$ objemový zlomek kyslíku v čase $t$. Určete, za jak dlouho si pro Šedomila přijde Smrť, jestliže minimální obsah kyslíku ve vzduchu potřebný pro přežití je $φ_{s}=0,06$.

DARK IN HERE, ISN'T IT? (Aneb Mirek a jeho kamarád Smrť.)

(8 bodů)6. Série 28. Ročníku - E. alchymistická

Na Zeměploše je regulérním povoláním alchymie. Proto jsme se rozhodli, že byste si to měli také zkusit. Představte si, že skládáte zkoušku, abyste mohli vstoupit do Cechu alchymistů. Společně s brožurkou zadání série vám přišly tři zabalené vzorky kovů. Jedná se o tenké plátkové kovy – dávejte si pozor, abyste je neponičili a ideálně na ně přímo nesahejte. Vaším úkolem je zjistit, jaké (drahé?) kovy jsme vám zaslali. Kovy po vás nechceme zpátky – můžete tedy používat libovolné, i destruktivní postupy, ale uznáme pouze ty dostatečně vědecké. Vaším řešením tedy bude popis postupu a co nejpřesnější určení každého vzorku s tím, že je nutné, abyste uvedli u každého z nich jeho označení, které je na jeho přebalu. Nezapomínejte, že je cenné i určit, o které kovy se nejedná.

Poznámka: Pokud by se někdo chtěl stát novým řešitelem a řešit tuto úlohu, nechť co nejdříve napíše na email alchymie@fykos.cz s tím, že zásilku může očekávat zhruba za týden až 10 dnů.

Karel chtěl rozeslat nakoupené zlato, platinu a palladium.

(6 bodů)6. Série 28. Ročníku - S. rozmixovávací

Opište si funkci iterace_stanMap ze seriálu a pomocí následujících příkazů si vyberte deset velmi blízkých počátečních podmínek pro nějaké K.

 K=...;
 X01=...;
 Y01=...; 
 Iter1 = iterace_stanMap(X01,Y01,1000,K);
 ...
 X10=...;
 Y10=...;
 Iter10 = iterace_stanMap(X10,Y10,1000,K);

V Iter1Iter10 je tedy schováno tisíc iterací daných počátečních podmínek pomocí Standardní mapy. K tomu, abyste viděli, jak vypadá všech deset bodů po n-té iteraci, musíte napsat

 n=...;
 plot(Iterace1(n,1),Iterace1(n,2),"o",...,Iterace10(n,1),Iterace10(n,2),"o")
 xlabel ("x");
 ylabel ("y");
 axis([0,2*pi,-pi,pi],"square");
 refresh;

„o“ do příkazu plot píšeme, aby se body pro přehlednost vykreslily jako kroužky. Zbytek příkazů je pak zahrnut kvůli tomu, aby graf zahrnoval celý čtverec a měl ty správné popisky.

  1. Nastavte nějaké silné kopání, K alespoň tak -0,6, a umístěte svých deset počátečních podmínek velmi blízko sebe někam doprostřed chaotické oblasti (tj. třeba „na špičku propisky“). Jak se s iteracemi těchto deset počátečních podmínek oddaluje či přibližuje? Zdokumentujte na grafech. Jak vypadá deset původně velmi blízkých počátečních podmínek po 1 000 iteracích? Co z toho můžeme vyvodit o „míchavosti“ počátečních podmínek v dané oblasti?
  2. Vezměte opět nějaké poměrně silné kopání a umístěte svých deset počátečních podmínek poblíž svislé rovnováhy rotoru, tj. x = 0, y = 0. Jak se těchto deset počátečních podmínek oddaluje/přibližuje v čase? Co o jejich vzdálenosti lze říci po velkém počtu kopnutí?

Bonus: Zkuste naprogramovat a vykreslit i chování nějaké jiné nakopávané mapy. (Pro inspiraci se můžete podívat do vzorového řešení minulé série.)

(6 bodů)5. Série 28. Ročníku - S. mapovací

 

  • Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $K$ a $T$ můžete Standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako

$$x_{n} = x_{n-1} y_{n-1},$$

$$\\ y_n = y_{n-1} K \sin(x),$$

kde $x$, $y$ jsou nějak přeškálovaná $dφ⁄dt$, $φ$. Určete fyzikální rozměr $K$, $x$, $y$.

  • Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I(φ)=I_{0}$, po periodě $T$ pak $I(φ)=-I_{0}$, po další zase $I_{0}$ a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.
  • Napište mapu $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě hodnot $φ_{n-1},dφ⁄dt_{n-1}$ před dvojkopem ± $I_{0}$.
  • Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?
  • Vyřešte $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě nějakých počátečních podmínek $φ_{0},dφ⁄dt_{0}$ pro libovolné $n$.

Bonus: Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které bude dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $φ$ je 2π-periodické a že by se vám $dφ⁄dt$ nemělo vyšroubovat kopáním do nekonečna.

(6 bodů)4. Série 28. Ročníku - S. Ljapunovská

 

  • Uvažujte propisku o délce 10 cm s těžištěm přesně v půlce a $g=9.81\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Nyní si představte, že jste propisku postavili na stůl s nulovou výchylkou $δx$ s přesností na $n$ desetinných míst a s nulovou rychlostí. Za jak dlouho po postavení propisky si budete moct být jisti pouze s $n-1$ desetinnými místy nulovostí výchylky?
  • Uvažujte model počasí s největším Ljapunovovým exponentem $λ=1.16\cdot 10^{-5}\,s^{-1}$. Předpověď počasí přestává být použitelná, pokud je její chyba více než 20 %. Pokud jste dokázali změřit stav počasí s přesností na 1 %, na jak dlouho byste odhadovali, že bude dobrá vaše předpověď? Odpověď podejte v dnech a hodinách.
  • Vezměte si Lorenzův model konvekce z minulého dílu, opište si z něj funkci $f(xi,t)$ a nasimulujte a vykreslete si hodnotu parametru $X(t)$ pro dvě různé trajektorie pomocí příkazů X01=1;

Y01=2;

Z01=5;

X02=…;

Y02=…;

Z02=…;

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka1=[X01,Y01,Z01];

reseni1=ode45(@f,[0,45],pocPodminka1,nastaveni);

pocPodminka2=[X02,Y02,Z02];

reseni2=ode45(@f,[0,45],pocPodminka2,nastaveni);

plot(reseni1.x,reseni1.y(:,1),reseni2.x,reseni2.y(:,1));

pause()

</pre> Místo tří teček u $X02,Y02,Z02$ musíte zadat počáteční podmínky pro druhou trajektorii. Pusťte kód alespoň pro pět řádově odlišných, ale malých odchylek a poznamenejte si čas, ve kterém se druhá trajektorie od první kvalitativně odlepí (tj. směřuje například na úplně druhou stranu). Odchylku nezmenšujte pod řád cca $10^{-8}$, protože pak se začnou projevovat nepřesnosti numerické integrace. Načrtněte závislost odlepovacího času na řádu odchylky.

Bonus: Pokuste se ze získané závislosti odlepovacího času na velikosti odchylky odhadnout odpovídající Ljapunovův exponent. Budete potřebovat víc než pět běhů a můžete předpokládat, že v okamžiku odlepení velikost odchylky pokaždé zrovna překročila nějaké konstantní $Δ_{c}$.

(6 bodů)3. Série 28. Ročníku - S. numerická

 

  • Podívejte se na rovnice Lorenzova modelu a sepište skript na jeho simulaci v Octave (na to si případně osvěžte i druhý díl seriálu). Spolu s vykreslujícím příkazem by váš skript měl vypadat zhruba takto: …

function xidot = f(t,xi)

xdot=…;

ydot=…;

zdot= …;

xidot = [xdot;ydot;zdot];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka=[0.2,0.3,0.4];

reseni=ode45(@f,[0,300],pocPodminka,nastaveni);

plot3(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2),reseni.y(:,3)); </pre> Jen místo tří teček doplňte zbytek programu podobně jako v druhém dílu seriálu a použijte $σ=9,5$, $b=8⁄3$. Pak zjistěte alespoň s přesností na jednotky, pro jaké kladné $r$ přechází systém z asymptotického zastavování se na chaotickou oscilaci (na počátečních podmínkách nezáleží).

  • Zde je plný text octavovského skriptu pro simulaci a vizualizaci pohybu částice v gravitačním poli hmotného tělesa v rovině $xy$, kde všechny parametry a konstanty jsou rovny jedné: clear all

pkg load odepkg

function xidot = f(t,xi)

alfa=0.1;

vx=xi(3);

vy=xi(4);

r=sqrt(xi(1)^2+xi(2)^2);

ax=-xi(1)/r^3;

ay=-xi(2)/r^3;

xidot = [vx;vy;ax;ay];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

x0=0;

y0=1;

vx0=…;

vy0=0;

pocPodminka=[x0,y0,vx0,vy0];

reseni=ode45(@f,[0,100],pocPodminka,nastaveni)

plot(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2));

pause()</pre>

  • Zvolte počáteční podmínky $x0=0,y0=1,vy0=0$ a počáteční rychlost ve směru $x$ nenulovou tak, aby byla částice vázaná, tj. neulétla z dosahu centra.
  • Přidejte ke gravitační síle ve skriptu sílu $-α\textbf{r}⁄r^{4}$, kde $αje$ malé kladné číslo. Volte postupně několik zvětšujících se $α$ počínaje $α=10^{-3}$ a ukažte, že způsobují kvaziperiodický pohyb.

(2 body)2. Série 28. Ročníku - 2. poživačná buňka

Odhadněte na základě znalostí pouze makroskopicky měřitelných veličin, počtu buněk v lidském těle a počtu částic v látkovém množství jednoho molu, kolik molekul kyslíku „spotřebuje“ denně jedna lidská buňka. Potřebné údaje k výpočtu si nalezněte a svoje zdroje nezapomeňte citovat.

Karel přemýšlel v metru.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Pořadatelé a partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner

Partner

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz