Vyhledávání úloh podle oboru

* Pomocí principu virtuálních prací nalezněte rovnovážnou polohu systému na obrázku, pokud navíc na konec tyče zavěsíme závaží o hmotnosti $M$.

* Dokažte tvrzení, které jsme při řešení pohybu Huygensova kyvadla použili pro pohyb po cykloidě, totiž, že velikost rychlosti pohybu vyšetřovaného bodu je rovna $2 \frac{\d z}{\d t}$.

Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem: do hlavně se dá střela o hmotnosti $M$ a za ní určitý počet balíku s výbušninou (objem jednoho balíku je $V_{0})$, podle toho jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě $T_{0}$ a tlaku $p_{0}$. Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte.

• Mojmír a Anežka sedí přesně proti sobě na točícím se kolotoči. Ještě je sníh a tak si Mojmír připravil sněhovou kouli a na kolotoči ji chce hodit po Anežce. Poraďte mu, jakou rychlostí a jakým směrem (vzhledem ke kolotoči) má kouli hodit, aby Anežku zasáhl. Údaje jsou: vzdálenost obou od osy $R=3\;\jd{m}$, úhlová rychlost kolotoče $\omega =10~\jd{rad. s^{-1}}$.

Poznámka: Úlohu řešte v inerciální soustavě a předpokládejte, že Mojmír je schopný vrhnout kouli dostatečně rychle ve vodorovném směru. Lze tedy předpokládat pohyb koule po vodorovné přímce. Úloha nemá samozřejmě jednoznačné řešení, pokuste se najít nějaké reálné (odhadněte, jakou asi rychlostí se hází sněhové koule).

• Načrtněte, narýsujte, odhadněte, vypočtěte, nasimulujte nebo nějak jinak zjistěte, jak bude v případě vašeho řešení části a) vypadat trajektorie koule v soustavě spojené s kolotočem a v nějakém bodě načrtněte zdánlivé síly, které na kouli působí.
• Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou nepravdivá, a proč?
  • Z pohledu inerciální soustavy působí na rotující hmotný bod odstředivá síla, která vyrovnává dostředivou sílu, a proto se hmotný bod pohybuje rovnoměrně.
  • Odstředivá síla je reakcí na dostředivou sílu, neboť má stejnou velikost a opačný směr.
  • Když v inerciálním systému náhle přestane na rovnoměrně rotující těleso působit dostředivá síla, bude těleso pokračovat v pohybu po tečné přímce. Z pohledu neinerciálního systému se bude v důsledku působení odstředivé síly pohybovat po radiální přímce.

Uvažujme družici letící k Jupiteru kolmou na jeho dráhu. Její rychlost ve velké vzdálenosti od Jupitera je $v_{0}=10~000 \;\jd{m.s^{-1}}$. Družice proletí za Jupiterem, její minimální vzdálenost od jeho středu je přitom rovna trojnásobku Jupiterova poloměru. Určete výsledný směr a velikost rychlosti sondy.

Nápověda: Nejprve proveďte přechod do soustavy, ve které je Jupiter v klidu. V této soustavě pak spočtěte úhel $\phi$, o který se při pohybu po hyperbole změní směr rychlosti.

Ze střechy 10 m vysokého domu pouštíme s nulovou počáteční rychlostí gumové míčky na chodník. Míčky jsou všechny stejně velké, mají však hodně rozdílné hmotnosti. Do jaké maximální výšky může některý z míčků vyskočit, máme-li jich k dispozici a) 2, b) $n$. Všechny rázy považujeme za dokonale pružné, veškeré odpory prostředí zanedbejme.

Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovnoměrně nabitý a osa helixu je totožná s osou $z$. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její $p_{z}$ a $L_{z}$, tedy $z$ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit $p_{z}$, známe-li v tomto okamžiku $L_{z}?$

(Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimentálně, v případě ověřit teoretickou předpověď.)

• Autíčko o hmotnosti $m$ se rozjíždí z klidu tak, že výkon $P$ je konstantní. Určete závislost zrychlení, rychlosti a polohy na čase. Návod: znáte-li výkon, je jednoduché určit závislost kinetické energie autíčka na čase.

• Autíčko jede při maximálním výkonu do kopce rychlostí

$v_{1}=95~\jd{km.h^{-1}}$. Ze stejného kopce dolů jede při plném výkonu rychlostí $v_{2}=162~\jd{km.h^{-1}}$. Jak rychle pojede po rovině? Odporová síla je úměrná $v^{2}$.

Brouček o hmotnosti $m$ stojí na obruči o hmotnosti $M$ a poloměru $r$, tato obruč leží na absolutně hladkém vodorovném stole. Náhle se brouček něčeho lekne a dá se do běhu. Poběží po obruči. Vaším úkolem je popsat trajektorii středu obruče (za předpokladu nulového tření mezi obručí a stolem).

Mějme pevně upevněný válec o poloměru $R_{V}$ umístěný ve vakuu mimo jakékoliv silové pole. K tomuto válci připevníme (např. přilepíme) jeden konec niti, která má mez pevnosti v tahu $σ_{t}$, poloměr $r$ a délku $l$, na jejímž druhém konci je upevněna olověná kulička o hmotnosti $m$. Nit napneme a kuličce udělíme rychlost $v_{0}$, jejíž směr bude kolmý na napnutou nit a na osu válce. Nit se začne na válec namotávat. Určete, v jaké vzdálenosti od válce se kulička utrhne a jaká bude v tomto okamžiku její rychlost.

Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty: $v_{0}=1\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, $m=2\;\mathrm{kg}$, $r=0,2\;\mathrm{mm}$, $σ_{t}=160\,\jd{MPa}$, $R_{V}=5\;\mathrm{cm}$, $l=2\;\mathrm{m}$.

Dokonale pružnou ocelovou kuličku spustíme z výšky $h$ (měřeno od místa dopadu) na nakloněnou rovinu, svírající s vodorovnou rovinou úhel $α$. Ve vzdálenosti $d$ od místa dopadu kuličky (ve směru klesání roviny) je svislá stěna. Určete jak vysoko (nad místem dopadu) v ní musíme udělat otvor, aby jím kulička proletěla. Řešte nejprve obecně a pak pro hodnoty $h=50\;\mathrm{cm}$, $d=15\;\mathrm{cm}$, $α=15^{\circ}$. Diskutujte pohyb kuličky v případě, že nakloněná rovina je nekonečná a kuličce nic v cestě nestojí.