Vyhledávání úloh podle oboru

Ke kondenzátoru o neznámé kapacitě připojíme do série cívku o indukčnosti $L$, obvod připojíme ke zdroji napětí o frekvenci $ω$ a naměříme na nekalibrovaném ampérmetru nějaký proud. Poté do série přípojíme ještě jednu cívku, stejnou jako ta první, a proud v obvodu se nezmění. Jaká je kapacita kondenzátoru?

Spočtěte odpor mezi body $A$, $B$ na nekonečné síti na obrázku. Všechny hrany sítě mají stejnou délku a odpor.

Na vstup (IN) obvodu na obr. 1 přivedeme vůči zemi (G) harmonické střídavé napětí o amplitudě $U$ a frekvenci $f$. Jaké napětí naměříme na výstupu (OUT)? Diody považujte za ideální, velikosti kapacit si zvolte nebo řešte úlohu obecně. Nevíte-li si rady, zkuste nejprve jednodušší případ – zapojení pouze se dvěma diodami a kondenzátory (viz obr. 2).

Pro síť na obr. (všechny odpory jsou stejné, jejich velikost označme R) určete odpor mezi dvěma vrcholy šestiúhelníku (uvažte všechna možná zapojení).

• Spočtěte reálnou a imaginární část sin($a+bi)$.

• Pomocí komplexní symbolické metody odvoďte vztah pro rezonanční frekvenci paralelního RLC obvodu, tj. nalezněte frekvenci, pro kterou má při konstantním napětí celkový proud v obvodu minimální amplitudu.
• Sečtěte pomocí komplexních čísel následující řady. (Návod: řada $A+Bi$ je geometrická.)

$$A=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\delta}\cos(n\varphi),   B=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\delta}\sin(n\varphi)$$

Mějme sériový $RC-obvod$, který připojíme na zdroj periodického napětí s tzv. obdélníkovým průběhem, tzn. po čas $T/2$ je napětí $U$ a po čas $T/2$ napětí $-U$. Jak bude vypadat průběh napětí na kondenzátoru?

Mějme dva přímé rovnoběžné nekonečně dlouhé kovové vodiče zanedbatelného kruhového průřezu, které jsou od sebe ve vzdálenosti $r$. Směr jednotkového vektoru $\textbf{e}_{3}$ zvolme tak, aby byl rovnoběžný s vodiči. Jednotkový vektor, který leží v rovině určené vodiči, je kolmý na $\textbf{e}_{3}$ a má směr z prvního vodiče k druhému, označme $\textbf{e}_{1}$. Jako vektor $\textbf{e}_{2}$ označujme vektorový součin $\textbf{e}_{3}$ × $\textbf{e}_{1}$. Vektory $\textbf{e}_{1}$, $\textbf{e}_{2}$ a $\textbf{e}_{3}$ pak definují pravotočivý souřadný systém. Vodiči protékají elektrické proudy $I_{1}$ a $I_{2}$. Velikost proudů je kladná, pokud mají směr $\textbf{e}_{3}$. Pomocí transformačních vztahů pro elektrické a magnetické pole ukažte, že první vodič působí na úsek délky $l$ druhého vodiče silou

$\textbf{F}_{l}$ = $– \mu_{0} ⁄ (2\pi)$ $\cdot (I_{1}I_{2}l⁄r)$ $\textbf{e}_{1}$.

K řešení této úlohy užijte následující poznámky. Kovy jsou tvořeny krystalovou mřížkou kladně nabitých iontů, mezi nimiž se pohybují volné elektrony. (Toto je velmi zjednodušený model struktury kovů. Nicméně pro náš problém je postačující.) Pokud ke kovu přiložíme vnější elektrické pole, potom se volné elektrony začnou pohybovat proti směru elektrické intenzity. Tím v kovu vzniká elektrický proud. Rychlost uspořádaného pohybu elektronů je při běžných hodnotách proudu velmi malá, méně než metr za sekundu.

Elektrostatické pole homogenně nabité přímky s délkovou hustotou náboje $\lambda$ je ve vzdálenosti $r$ od zdroje popsáno elektrickou intenzitou o velikosti $E = \lambda / (2\pi\epsilon_{0}r)$. Vektor elektrické intenzity vždy leží v rovině kolmé na přímkový zdroj a jeho směr udává přímka procházející zdrojem a bodem, ve kterém nás zajímá hodnota elektrického pole. Vektor elektrické intenzity směřuje od zdroje, je-li zdroj nabit kladně. Tento výsledek lze získat sečtením (integrací) příspěvků od jednotlivých elementů přímkového zdroje. Příspěvek elementu zdroje je dán Coulombovým zákonem. Další možností je v tomto případě užití Gaussovy věty, neboť směr elektrické intenzity plyne ze symetrie.

Z Maxwellových rovnic plyne pro rychlost světla ve vakuu vztah $c^{2} = 1/\epsilon_{0} \mu_{0}$. O platnosti tohoto vzorce se lze snadno přesvědčit dosazením tabulkových hodnot příslušných fyzikálních konstant.

Máme žárovku, která svítí na výkonu $100 \,\jd{W}$. Chceme vyrobit žárovku pro výkon $60 \,\jd{W}$ a použít přitom stejný materiál vlákna. Chceme, aby obě žárovky svítily „stejně“ (měly stejnou spektrální vyzařovací charakteristiku). Jaké rozměry musí mít vlákno v $60 \,\jd{W}$ žárovce vzhledem k tomu ve $100 \,\jd{W}$?

Máme $50\, \jd{kg}$ mědi. Jaký nejdelší drát z tohoto množství materiálu lze vytvořit pro přenášení elektrického proudu $1 \jd{A}$, je-li okolní teplota $20\jd{^{\circ}C}$? (Tepelnou kapacitu okolního vzduchu a přírody považujte za nekonečnou.)

Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovnoměrně nabitý a osa helixu je totožná s osou $z$. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její $p_{z}$ a $L_{z}$, tedy $z$ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit $p_{z}$, známe-li v tomto okamžiku $L_{z}?$

(Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimentálně, v případě ověřit teoretickou předpověď.)