Seriál 28. ročníku

• Sepište si rovnice pro vrh v homogenním gravitačním poli (nemusíte je znovu řešit, ale musíte je umět správně použít). Navrhněte přístroj, který bude vrhat předmět dle vašeho uvážení a určete pod jakým úhlem a jakou rychlostí tak činí. Můžete například vrhat pomocí pružiny, změřit její tuhost, hmotnost předmětu a vypočítat kinetickou energii a tudíž i rychlost předmětu. V jakých rozmezích jste si s rychlostí a úhlem jistí? Dosaďte tyto rozsahy do rovnic a ukažte v jakých rozmezích v důsledku toho můžete očekávat vzdálenost dopadu od vašeho předmětu. Vrhněte svůj předmět daný přístrojem alespoň pětkrát a změřte vzdálenost dopadu – v jakých rozmezích jste si jisti danou vzdáleností? Ukažte, zda se vešly vaše výsledky do toho, co jste předpověděli. (Za odkaz na video s vrhem bonusový bod!)
• Uvažte kyvadlo s výchylkou $x$, které se efektivně kývá harmonicky, ale frekvence jeho kyvů závisí na maximální výchylce $x_{0}$

$$x(t) = x_0 \cos\left[\omega(x_0) t\right]\,, \quad \omega(x_0) = 2\pi \left(1 - \frac{x_0^2}{l_0^2}\right)\,,$$

kde $l_{0}je$ nějaká délková škála. Myslíme si, že pouštíme kyvadlo z $x_{0}=l_{0}⁄2$, ale ve skutečnosti jej vypouštíme z $x_{0}=l_{0}(1+ε)⁄2$. O kolik se liší argument kosinu od 2π po jedné námi předpokládané periodě? Po kolika periodách bude kyvadlo vychýlené na druhou stranu, než bychom předpokládali? Tip Argument kosinu se bude v tu chvíli od předpokládaného lišit o víc než π ⁄ 2.

• Vezměte do ruky propisku a postavte jí na stůl na špičku. Proč spadne? A co rozhoduje o tom, že spadne spíš doprava, než doleva? Proč nedokážete předpovědět výsledek hodu kostkou, i když zákony fyziky by jej měly plně předurčit? Když hrajete kulečník, je neschopnost dokončit hru pouze v jednom šťouchu pouze v tom, že to nedokážete propočítat? Sepište svoje odpovědi a zkuste vyjmenovat fyzikální jevy ze života, které jsou v principu předpověditelné, ale ani dobrá znalost situace vám v předpovědi moc nepomůže.

• Délkové veličiny zadáváme v metrech, časové v sekundách a hmotnostní v kilogramech. Úhlovou rychlost $Ω$ zadáváme v radiánech za čas. Když vezmete ze seriálu rovnice pro pohyb míče, nachází se v nich ale ještě tři parametry: $α$, $β$, $γ$. Jaké jsou jejich rozměry?
• Uvažujte volný pád míče s $Ω=0$ a $v_{x}=0$. Existuje pak konečná rychlost $v_{z}^{t}$, při které se vyrovná třecí síla a tíhové zrychlení a pád míče už nezrychluje.
• Určete tuto rychlost pomocí parametrů z rovnic pohybu pro míč.
• Obraťte tuto rovnost tak, aby vyjadřovala $β$. $v_{z}^{t}$ se dá dobře měřit a pro fotbalový míč o hmotnosti $m=0,5\;\mathrm{kg}$ je typicky okolo $25\, m\cdot s^{ -1}$. Kolik je pak $β$?
• Vyjádřete si počáteční $v_{x}$ a $v_{z}$ pomocí úhlu výstřelu $φ$ při fixní počáteční rychlosti $v=10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Sepište program podle seriálu a vyzkoušejte měnit počáteční podmínky a parametry následovně
• Zvolte nějaké kladné $β$, vypněte rotaci $Ω=0$ a zjistěte, zda je úhel výstřelu, pod kterým doletí míč nejdál, menší nebo větší než 45°. Svoje zjištění demonstrujte pomocí grafů letu.
• Zvolte nenulové kladné $α$ s numerickou hodnotou v daných jednotkách stejnou jako $β$, $γ=0,01$ (v daných jednotkách) a $Ω=±5rad\cdot \;\mathrm{s}^{-1}$. Jak se v daných případech změní optimální úhel výstřelu?

Bonus: Jak byste tedy nejdále dohodili krikeťákem? Je náš model pro tuto úvahu dostatečný?

• Podívejte se na rovnice Lorenzova modelu a sepište skript na jeho simulaci v Octave (na to si případně osvěžte i druhý díl seriálu). Spolu s vykreslujícím příkazem by váš skript měl vypadat zhruba takto: …

function xidot = f(t,xi)

…

xdot=…;

ydot=…;

zdot= …;

xidot = [xdot;ydot;zdot];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka=[0.2,0.3,0.4];

reseni=ode45(@f,[0,300],pocPodminka,nastaveni);

plot3(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2),reseni.y(:,3)); </pre> Jen místo tří teček doplňte zbytek programu podobně jako v druhém dílu seriálu a použijte $σ=9,5$, $b=8⁄3$. Pak zjistěte alespoň s přesností na jednotky, pro jaké kladné $r$ přechází systém z asymptotického zastavování se na chaotickou oscilaci (na počátečních podmínkách nezáleží).

• Zde je plný text octavovského skriptu pro simulaci a vizualizaci pohybu částice v gravitačním poli hmotného tělesa v rovině $xy$, kde všechny parametry a konstanty jsou rovny jedné: clear all

pkg load odepkg

function xidot = f(t,xi)

alfa=0.1;

vx=xi(3);

vy=xi(4);

r=sqrt(xi(1)^2+xi(2)^2);

ax=-xi(1)/r^3;

ay=-xi(2)/r^3;

xidot = [vx;vy;ax;ay];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

x0=0;

y0=1;

vx0=…;

vy0=0;

pocPodminka=[x0,y0,vx0,vy0];

reseni=ode45(@f,[0,100],pocPodminka,nastaveni)

plot(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2));

pause()</pre>

• Zvolte počáteční podmínky $x0=0,y0=1,vy0=0$ a počáteční rychlost ve směru $x$ nenulovou tak, aby byla částice vázaná, tj. neulétla z dosahu centra.
• Přidejte ke gravitační síle ve skriptu sílu $-α\textbf{r}⁄r^{4}$, kde $αje$ malé kladné číslo. Volte postupně několik zvětšujících se $α$ počínaje $α=10^{-3}$ a ukažte, že způsobují kvaziperiodický pohyb.

• Uvažujte propisku o délce 10 cm s těžištěm přesně v půlce a $g=9.81\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Nyní si představte, že jste propisku postavili na stůl s nulovou výchylkou $δx$ s přesností na $n$ desetinných míst a s nulovou rychlostí. Za jak dlouho po postavení propisky si budete moct být jisti pouze s $n-1$ desetinnými místy nulovostí výchylky?

• Uvažujte model počasí s největším Ljapunovovým exponentem $λ=1.16\cdot 10^{-5}\,s^{-1}$. Předpověď počasí přestává být použitelná, pokud je její chyba více než 20 %. Pokud jste dokázali změřit stav počasí s přesností na 1 %, na jak dlouho byste odhadovali, že bude dobrá vaše předpověď? Odpověď podejte v dnech a hodinách.

• Vezměte si Lorenzův model konvekce z minulého dílu, opište si z něj funkci $f(xi,t)$ a nasimulujte a vykreslete si hodnotu parametru $X(t)$ pro dvě různé trajektorie pomocí příkazů X01=1;

Y01=2;

Z01=5;

X02=…;

Y02=…;

Z02=…;

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka1=[X01,Y01,Z01];

reseni1=ode45(@f,[0,45],pocPodminka1,nastaveni);

pocPodminka2=[X02,Y02,Z02];

reseni2=ode45(@f,[0,45],pocPodminka2,nastaveni);

plot(reseni1.x,reseni1.y(:,1),reseni2.x,reseni2.y(:,1));

pause()

</pre> Místo tří teček u $X02,Y02,Z02$ musíte zadat počáteční podmínky pro druhou trajektorii. Pusťte kód alespoň pro pět řádově odlišných, ale malých odchylek a poznamenejte si čas, ve kterém se druhá trajektorie od první kvalitativně odlepí (tj. směřuje například na úplně druhou stranu). Odchylku nezmenšujte pod řád cca $10^{-8}$, protože pak se začnou projevovat nepřesnosti numerické integrace. Načrtněte závislost odlepovacího času na řádu odchylky.

Bonus: Pokuste se ze získané závislosti odlepovacího času na velikosti odchylky odhadnout odpovídající Ljapunovův exponent. Budete potřebovat víc než pět běhů a můžete předpokládat, že v okamžiku odlepení velikost odchylky pokaždé zrovna překročila nějaké konstantní $Δ_{c}$.

• Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $K$ a $T$ můžete Standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako

$$x_{n} = x_{n-1} y_{n-1},$$

$$\\ y_n = y_{n-1} K \sin(x),$$

kde $x$, $y$ jsou nějak přeškálovaná $dφ⁄dt$, $φ$. Určete fyzikální rozměr $K$, $x$, $y$.

• Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I(φ)=I_{0}$, po periodě $T$ pak $I(φ)=-I_{0}$, po další zase $I_{0}$ a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.
• Napište mapu $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě hodnot $φ_{n-1},dφ⁄dt_{n-1}$ před dvojkopem ± $I_{0}$.
• Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?
• Vyřešte $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě nějakých počátečních podmínek $φ_{0},dφ⁄dt_{0}$ pro libovolné $n$.

Bonus: Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které bude dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $φ$ je 2π-periodické a že by se vám $dφ⁄dt$ nemělo vyšroubovat kopáním do nekonečna.

Opište si funkci iterace_stanMap ze seriálu a pomocí následujících příkazů si vyberte deset velmi blízkých počátečních podmínek pro nějaké K.

 K=...;
 X01=...;
 Y01=...; 
 Iter1 = iterace_stanMap(X01,Y01,1000,K);
 ...
 X10=...;
 Y10=...;
 Iter10 = iterace_stanMap(X10,Y10,1000,K);

V Iter1 až Iter10 je tedy schováno tisíc iterací daných počátečních podmínek pomocí Standardní mapy. K tomu, abyste viděli, jak vypadá všech deset bodů po n-té iteraci, musíte napsat

 n=...;
 plot(Iterace1(n,1),Iterace1(n,2),"o",...,Iterace10(n,1),Iterace10(n,2),"o")
 xlabel ("x");
 ylabel ("y");
 axis([0,2*pi,-pi,pi],"square");
 refresh;

„o“ do příkazu plot píšeme, aby se body pro přehlednost vykreslily jako kroužky. Zbytek příkazů je pak zahrnut kvůli tomu, aby graf zahrnoval celý čtverec a měl ty správné popisky.

1. Nastavte nějaké silné kopání, K alespoň tak -0,6, a umístěte svých deset počátečních podmínek velmi blízko sebe někam doprostřed chaotické oblasti (tj. třeba „na špičku propisky“). Jak se s iteracemi těchto deset počátečních podmínek oddaluje či přibližuje? Zdokumentujte na grafech. Jak vypadá deset původně velmi blízkých počátečních podmínek po 1 000 iteracích? Co z toho můžeme vyvodit o „míchavosti“ počátečních podmínek v dané oblasti?
2. Vezměte opět nějaké poměrně silné kopání a umístěte svých deset počátečních podmínek poblíž svislé rovnováhy rotoru, tj. x = 0, y = 0. Jak se těchto deset počátečních podmínek oddaluje/přibližuje v čase? Co o jejich vzdálenosti lze říci po velkém počtu kopnutí?

Bonus: Zkuste naprogramovat a vykreslit i chování nějaké jiné nakopávané mapy. (Pro inspiraci se můžete podívat do vzorového řešení minulé série.)